If `sin(theta+alpha)=a andsin(theta+beta)=b`, then prove that `cos(alpha+beta)-4abcos(alpha-beta)=1-2a^(2)-2b^(2)`.

Options

A. `1-a^(2)-b^(2)`
B. `1-2a^(2)-2b^(2)`
C. `2+a^(2)+b^(2)`
D. `2-a^(2)-b^(2)`

Answer

B

Explanation

Given that ,`sin(theta+alpha)=a` . . . (i)
and `sin(theta+beta)=b` . . . (ii)
Now , `cos(theta+alpha)=sqrt(1-a^(2))`
`rArrtheta+alpha=cos^(-1)sqrt(1-a^(2))`
and `alpha-beta=(theta+alpha)-(theta+beta)`
`=cos^(-1)sqrt(1-a^(2))-cos^(-1)sqrt(1-b^(2))`
`rArralpha-beta=cos^(-1)(sqrt(1-a^(2))sqrt(1-b^(2))+ab)`
`rArrcos(alpha-beta)=sqrt(1-a^(2))sqrt(1-b^(2))+ab`
Now ,`cos(alpha-beta)-4abcos(alpha-beta)`
`=2cos^(2)(alpha-beta)-1-4abcos(alpha-beta)`
`=2(sqrt(1-a^(2))sqrt(1-b^(2))+ab)^(2)-4ab(sqrt(1-a^(2))sqrt(1-b^(2))+ab)-`
`=2{(1-a^(2))(1-b^(2))+a^(2)b^(2)+2ab sqrt(1-a^(2))sqrt(1-b^(2))}-4ab sqrt(1-a^(2))sqrt(1-b^(2))+ab)-`
`=2(1-b^(2)-a^(2)+a^(2)b^(2))+2a^(2)b^(2)-4a^(2)b^(2)-1`
`=2(1-a^(2)-b^(2))-1=1-2a^(2)-2b^(2)`