यदि u , v तथा w , x के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय- लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि
`(d)/(dx)(u.v.w)=(du)/(dx)v.w+u.(dv)/(dx).w+u.v(dw)/(dx)`

Explanation

`y=uvw`
(i) `(dy)/(dx)=(d)/(dx){(uv)w}`
`=w.(d)/(dx)(uv)+uv.(d)/(dx)(w)`
`=w[v(du)/(dx)+u(dv)/(dx)]+uv(dw)/(dx)`
`=vw(du)/(dx)+uw(dv)/(dx)+uv(dw)/(dx)`
(ii) `y=uvw`
`rArr logy=log (uvw)`
`=logu+logv+logw`
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(1)/(y)(dy)/(dx)=(1)/(u)(du)/(dx)+(1)/(v)(dv)/(dx)+(1)/(w)(dw)/(dx)`
`rArr" "(dy)/(dx)=(y)/(u)(du)/(dx)+(y)/(v)(dv)/(dx)+(y)/(w)(dw)/(dx)`
`=(uvw)/(u)(du)/(dx)+(uvw)/(v)(dv)/(dx)+(uvw)/(w)(dw)/(dx)`
`=vw(du)/(dx)+uw(dv)/(dx)+uv(dw)/(dx)`
अतः दोनों स्थितियों में परिणाम समान है।
यही दर्शाना था ।