क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु, पर सतत हो किन्तु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो ? आपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए ।

Explanation

हाँ
`f(x)=|x-1|+|x-2|`
यह फलन x के सभी वास्तविक मानों लिये सतत है
परन्तु x = 1 और x = 2 पर अवकलनीय नहीं है।
x = 1 पर
`f(1)=|1-1|+|1-2|=0+1=1`
`L.H.L. =underset(xrarr1^(-))(lim)f(x)" माना"x=1-h`
`" "=underset(hrarr0)(lim)f(1-h)" "rArr 1-h rArr 1`
`=underset(hrarr0)(lim)|1-h-1|+|1-h-2|" "rArr" "h rarr0`
`" "=0+|-1|=1`
`R.H.L.=underset(xrarr1^(+))(lim)f(x)" माना"x=1+h`
`" "=underset(hrarr0)(lim)f(1+h)" "rArr 1+hrarr1`
`" "=underset(hrarr0)(lim)|1+h-1|+|1+h-2|" "rArr" "hrarr0` ltBrgt `=0+|-1|=1`
`because" L.H.L."=f(1)=R.H.L.`
`therefore" "f(x), x=1` पर सतत है।
x = 2 पर
`f(2)=|2-1|+|2-2|=1+0=1`
`L.H.L.=underset(xrarr2^(-))(lim)f(x)" माना "2-h+x`
`" "=underset(hrarr0)(lim)f(2-h)" "rArr 2-hrarr2`
`" "=underset(hrarr0)(lim)|2-h-1|+|2-h-2|" "rArr" "hrarr0`
`=1+0=1`
`R.H.L=underset(xrarr2^(+))(lim)f(x)" माना "2+h=x`
`" "=underset(hrarr0)(lim)f(2+h)" "rArr 2+hrarr2`
`" "=underset(hrarr0)(lim)|2+h-1|+|2+h-2|" "rArr" "hrarr0`
`=1+0=1`
`because L.H.L. = f(2)=R.H.L`
`therefore f(x),x=2` पर सतत है।
अब `f(x)=|x-1|+|x-2|`
`={{:(-(x-1)-(x-2),=,-2x+3,"यदि ",xlt1),((x-1)-(x-2),=," 1","यदि ",1lexle2),((x-1)+(x-2),=," "2x-3,"यदि ",xgt2):}`
x = 1 पर
`Lf'(1)=underset(hrarr0)(lim)(f(1-h)-f(1))/(-h)`
`" "=underset(h rarr0)(lim)(-2(1-h)+3-1)/(-h)`
`" "=underset(hrarr0)(lim)(2h)/(-h)=underset(hrarr0)(lim)(-2)=-2`
`Rf'(1)=underset(hrarr0)(lim)(f(1+h)-f(1))/(h)`
`" "=underset(hrarr0)(lim)(1-1)/(h)=underset(hrarr0)(lim)(0)=0`
`because Lf'(1) ne Rf'(1)`
`therefore f(x),x=1` पर अवकलनीय नहीं है।
x = 2 पर
`Lf'(2)=underset(hrarr0)(lim)(f(2-h)-f(2))/(-h)`
`" "=underset(hrarr0)(lim)(1-(2xx2-3))/(-h)=underset(hrarr0)(lim)(0)=0`
`Rf'(2)=underset(hrarr0)(lim)(f(2+h)-f(2))/(h)`
`" "=underset(hrarr0)(lim)(2(2+h)-3-1)/(h)`
`" "=underset(hrarr0)(lim)(2h)/(h)=underset(hrarr0)(lim)2=2`
`therefore Lf'(2) ne Rf'(2)`
`therefore f(x), x=2` पर अवकलनीय नहीं है।