प्रथम चतुर्थांश में वृत्त `x^(2) + y^(2) = 4` रेखा `x =sqrt(3)y` एव `X -` अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Options

A. `(pi)/3`
B. `(pi)/4`
C. `(pi)/2`
D. `(pi)/6`

Answer

A

Explanation

`x^(2) + y^(2) = 4` वृत्त का समीकरण है जिसका केन्द्र और त्रिज्या 2 है । वृत्त के समीकरण को सरल रेखा के साथ हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु और प्राप्त होते है ।

अब अभीष्ट क्षेत्रफल
= OACO का क्षेत्रफल + CABC का क्षेत्रफल
`=int_(0)^(sqrt(3)) (x)/(sqrt(3)) dx + int_(sqrt(3))^(2) sqrt(4 -x ^(2))dx`
` = [(x^(2))/(2sqrt(3))]_(0)^(sqrt(3)) +[(x)/(2) sqrt(4-x^(2))+(4)/(2)sin^(-1).(x)/(2)]_(sqrt(3))^(2)`
`= sqrt(3)/(2) +[(0 + 2sin^(-1)1) - (sqrt(3)/(2)+2sin^(-1).(sqrt(3))/(4))]`
` = (sqrt(3))/(2) + 2.(pi)/(2) - (sqrt(3))/(2) - 2 .(pi)/(3)`
`=(pi)/(3)` वर्ग इकाई