परवलय `y =x^(2)` एव `y = |x|` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

Explanation

दिया गया परवलय Y - अक्ष के परित: सममित है तथा बिन्दु (0 ,0) गुजरता है ।

`therefore` वक्र y = ।x।, y - के परित: सममित है तथा मूल - बिंदु से गुजरता है।
वक्र `y =x^(2)` तथा रेखा `y = |x`| या `y = pmx` द्वारा घिरा क्षेत्रफल आकृति में दर्शाया गया है। परवलय `x^(2) = y` तथा रेखा `y = x` का प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदक बिन्दु A(1, 1) है। दिया गया क्षेत्रफल Y-अक्ष के परित: सममित है।
`therefore` क्षेत्रफल OACO = क्षेत्रफल ODBO
`therefore` अभीष्ट क्षेत्रफल `=2 xx` (केवल प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल)
` 2 int_(0)^(1) (y_(2) - y_(1))dx = 2int_(0)^(1)(x-x^(2))dx`
` =2 [ int_(0)^(1) x dx - int_(0)^(1) x^(2)dx]`
` = 2([(x^(2))/(2)]_(0)^(1) - [(x^(3))/(3)]_(0)^(1))`
` 2{((1)/(2) -0)-((1)/(3) -0)} =(1)/(3)` वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल `(1)/(3)` वर्ग इकाई है ।