निम्नलिखित रेखा - युग्मो के बीच का कोण ज्ञात कीजिए :
(i) ` (x -2)/(2) = ( y - 1) /( 5) = ( z + 3) /( - 3 ) `
और ` ( x + 2) /(-1) = ( y - 4 ) /(8) = ( z - 5) /(4) `
(ii) ` ( x ) /(2) = ( y ) /(2) = ( z ) /(1) ` और ` ( x - 5 ) /(4 ) = ( y - 2 ) /(1 ) = ( z - 3) /(8) `

Explanation

(i) दी गई रेखाओं के समीकरण निम्न है ,
` ( x - 2 ) /(2) = ( y - 1) /(5) = ( z + 3) /(- 3 ) `
तथा ` ( x + 2) /(-1) = ( y - 4 ) /( 8 ) = ( z - 5 ) /( 4 ) `
` therefore ` दोनों रेहों के दिक् अनुपात क्रमशः ` (2, 5, - 3 ) ` तथा ` ( - 1, 8 ,4) ` है |
माना दोनों रेखाओं के बीच का न्यून कोण ` theta ` है, तब
` cos theta =( a _ 1 a _ 2 +b _ 1 b _ 2 + c _ 1 c _ 2) /(sqrt ( a _ 1 ^(2) + b _ 1 ^(2) + c _ 1 ^(2) ) sqrt ( a _ 2^(2) + b _ 2^(2) + c _ 2^(2)) ) `
` rArr cos theta = ( 2 xx ( - 1 ) + 5 xx 8 + ( - 3 ) xx 4 )/(sqrt ( 2 ^(2) + 5 ^ 2 + ( - 3 ) ^(2) )sqrt ( ( - 1 ) ^(2) + 8^(2) + 4 ^(2)) ) `
` = ( - 2 + 40 - 12 ) /( sqrt ( 4 + 25 + 9 ) sqrt ( 1 + 64 + 16 ) ) `
` = ( 26 ) /(sqrt( 38) sqrt ( 81)) = ( 26) /(9 sqrt ( 38)) `
`rArr theta = cos ^(-1) ((26) /(9 sqrt ( 38))) `
(b) दी गई रेखाओं के समीकरण निम्न है ,
` ( x ) /(2) = ( y ) /(2) = ( z ) /(1) ` तथा ` ( x - 5) /( 4 ) = ( y - 2) /(1) = ( z - 3) /( 8 ) `
` therefore ` दोनों रेखाओं के दिक् अनुपात क्रमशः (2, 2 , 1 ) तथा ` ( 4, 1 , 8 ) ` है |
माना इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण ` theta ` है , तब
` cos theta = ( a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _ 2 + c_ 1 c _ 2 ) /(sqrt ( a _ 1 ^(2) + b _ 1 ^(2) + c _ 1 ^(2) ) sqrt ( a_2 ^(2) + b _ 2 ^2 + c _ 2 ^(2))) `
`rArr cos theta = ( 2 xx 4 + 2 xx 1 + 1 xx 8 ) /( sqrt ( 2 ^(2) + 2 ^(2) + 1 ^(2)) sqrt ( 4 ^(2) + 1 ^(2) + 8 ^(2))) `

` = ( 8 + 2 + 8 ) /(sqrt( 4 + 4 + 1) sqrt ( 16 + 1 + 64)) `
` = ( 18) /(sqrt9sqrt( 81 ) ) = ( 18 ) /( 3 xx 9 ) = ( 2 ) /(3) `
` rArr theta = cos ^(-1) ( ( 2 ) /(3)) `