रेखाओं
` ( x + 1 ) /( 7 ) = ( y + 1) /(-6) = ( z + 1) /(1) ` और ` ( x - 3) /(1) = ( y - 5) /(2 ) = ( z - 7) /(1) ` के बीच की न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिए |

Explanation

दी गई रेखाएँ निम्न है ,
` ( x + 1 ) /(7) =( y + 1) /(-6) = ( z + 1) /( 1 ) `
तथा ` ( x - 3 ) /(1) = ( y - 5 ) /(-2) = ( z - 7 ) /(1) `
पहली रेखा के दिक् अनुपात ` ( 7, - 6, 1 ) ` तथा वह बिंदु ` ( - 1, - 1, - 1 ) ` से होकर जाती है | अतः दी गई रेखा का सदिश समीकरण निम्न है ,
` rArr vecr = - hati - hatj - hatk + lamda ( 7 hati - 6hatj + hatk ) `
इसी प्रकार दूसरी रेखा का सदिश समीकरण निम्न है ,
` vecr _ 2 = 3hati + 5 hatj + 7 hatk + mu ( hati - 2 hatj = hatk ) `
जोकि समीकरण ` vecr _2 = veca _ 1 + lamda vecb _ 1 ` तथा ` vecr _ 2 = veca _ 2 + mu vec b _ 2 ` के रूप में है |
जहाँ, ` veca _ 1 = - hati - hatj - hatk , vecb _ 1 = 7 hati - 6 hatj + hatk `
तथा ` veca_2 = 3hati + 5hatj + 7 hatk , vecb _ 2 = hati - 2hatj + hatk `
अब ` veca _ 2 - vec a _1 = ( 3 hati + 5hatj + 7 hatk ) - ( - hati - hatj - hatk ) `
= ` 4hati + 6hath + 8 hatk , `
तथा ` vecb _1 xx vecb _ 2 ` ` |{:( hati,, hatj,,hatk),(7,,-6,,1),(1,,-2,,1) :}| `
` = hati ( - 6+ 2) - hatj ( 7 - 1 ) + hatk (- 14 + 6 ) `
` = - 4hati - 6 hatj - 8 hatk `
`|vecb _ 1 xx vecb_ 2 | = sqrt ( ( - 4 ) ^(2) + ( -6) ^(2) + ( -8) ^(2)) `
` = sqrt ( 16 + 36 + 64 ) = sqrt( 116 ) = 2sqrt( 29 ) `
` therefore ` दी गई रेखाओं के बिछ की न्यूनतम दुरी
` d = |((vecb _ 1 xx vecb ) * ( veca_ 2 - veca _ 1 ) )/( |vecb _ 1 xx vecb _ 2 |)| `
` = (| ( - 4hati - 6hatj- 8 hatk ) * ( 4hati + 6hatj + 8hatk ) |)/(2sqrt ( 29 ) ) `
` = (| ( - 4 ) xx 4 + ( - 6) xx 6 + ( - 8 ) xx 8 |)/( 2 sqrt ( 29 )) `
` = ( | - 16 - 36 - 64 |)/(2sqrt ( 29)) `
= `( 116) /(2sqrt ( 29)) = ( 58)/(sqrt( 29)) = 2sqrt ( 29) ` इकाई है |