ताश के 52 पत्तों की एक सुमिश्रित गद्दी से एक पत्ता याद्रीच्या निकाला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएं E और F स्वतन्त्र है?
(i) E: निकाला ज्ञात पत्ता हुकुम का है
F: निकाला ज्ञात पत्ता इक्का है
(ii) E: निकाला गया पत्ता काले रंग का है
F: निकाला गया पत्ता एक बादशाह है
(iii) E: निकाला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है
F: निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है|

Explanation

(i) 52 पत्तों की गड्डी में 13 पत्ते हुकुम के तथा 4 पत्ते इक्के के होते है।
दिया है की घटना E निकाला गया पत्ता हुकुम का है
`rArr n(F)` और n(S)=52
यहाँ `P( E) = (n( E))/(n(S )) = 13/52 =1/4`
`P(F ) =4/52 = 1/13`
तथा, `E cap F`: निकला ज्ञात पत्ता इक्का है
`rArr n(F) = (n(E ))/(n(F)) = 13/52=1/4`
`P( F)=4/52=1/13`
तथा, `E cap F` : पत्तों की गड्डी में केवल एक हुकुम का इक्का है।
`rArr P(E cap F) = (n(E cap F))/(n(S)) = 1/52`
अब `P( E) xx P(F )=1/4 xx 1/13 = 1/52= P(E cap F)`
अब `P( E) xx P( F) = 1/4 xx1/13 = 1/52 = P(E cap F)`
अतः E तथा F स्वतन्त्र घटनाएं है
(ii) 52 पत्तों की एक गड्डी में 26 पत्ते काले रंग के तथा 4 पत्ते बादशाह के होते है।
दिया गया है घटना E: निकाला गया पत्ता काले रंग का है '
`rArr n(E )=26`
तथा घटना F: निकाला गया पत्ता बादशाह है
`rArr n( F)=4`
`n( S)=52`
`P( E) = (n( E))/(n(S )) = 26/52=1/2`
तथा `E cap F`: निकाला गया पत्ता एक काले रंग का बादशाह है
`rAr P( E cap F) = (n(E cap S))/(n(S)) = 2/52 =1/26`
`P( E) xx P(F)=1/2 xx 1/13`
तथा `E cap F`: निकला गया पत्ता एक काले रंग का बादशाह है
`rArr P(E cap F) = (n(E cap S))/(n(S))= 2/52 = 1/26`
`P(E ) xx P(F) =1/2 xx 1/13 = 1/26= P(E cap F)`
`rArr` घटनाएं E तथा F स्वतंत्र है।
(iii) 52 पत्तों की एक गड्डी में 4 पत्ते बादशाह के तथा 4 पत्ते बेगम के होते है।
`P( F)=P` (निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम का है)
P(बेगम ) + P( गुलाम )
`=4/52 + 4/52 = 8/52=2/13`
और `E cap F`: निकाला गया पत्ता बेगम का है
`rArr P(E cap F)= 4/52 =1/13` अब, `P( E) xx P(F ) = 2/13 xx 2/13 = 4/169 neP(E cap F)`
`rArr P(E cap F) ne P( E)P(F)`
अतः घटनाएं E तथा F स्वतंत्र नहीं है।