निम्न द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यको तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जांच कीजिए :
`x^(2)-2x-8`

Explanation

(i) माना `p(x)=x^(2)-2x-8=x^(2)-4x+2x-8`
`=x(x-4)+2(x-4)`
`=(x-4)(x+2)`
p(x) के शून्यक `x-4=0` तथा `x+2=0` से प्राप्त होंगे ।
`x-4=0" "rArr" "x=4`
`x+2=0" "rArr" "x=-2`
`:." "p(x)` के शून्यक `=4,-2`
अब `p(x)=x^(2)-2x-8` से
`a=1,b=-2,c=-8`
`:." "-(b)/(a)=-((-2))/(1)=2`
`=4+(-2)=` शून्यको का योग
तथा `( c)/(a)=(-8)/(1)=-8`
`=4(-2)=` शून्यको का गुणनफल
`:.` बहुपद के शून्यको एवं गुणांकों के मध्य सम्बन्ध सत्य हैं ।
(ii) माना `p(s)=4s^(2)-4s+1=4s^(2)-2s-2s+1`
`=2s(2s-1)-1(2s-1)`
`=(2s-1)(2s-1)`
p(s) के शून्यक `2s-1=0` तथा `2s-1=0` से प्राप्त होंगे ।
`:." "2s-1=0" "rArr" "s=(1)/(2)`
अतः p(s) के शून्यक `=(1)/(2),(1)(2)`
अब `p(s)=4s^(2)-4s+1` से
`a=4,b=-4,c=1`
`:." "-(b)/(a)=-((-4))/(4)=1=(1)/(2)+(1)/(2)`
= शून्यको का योग
तथा `(c)/(a)=(1)/(4)=(1)/(2)xx(1)/(2)=` शून्यको का गुणनफल
अतः बहुपद के शून्यको और गुणांकों के मध्य सम्बन्ध सत्य हैं ।
(iii) माना `p(x)=6x^(2)-3-7x=6x^(2)-7x-3`
`=6x^(2)-9x+2x-3`
`=3x(2x-3)+1(2x-3)`
`=(2x-3)(3x+1)`
p(x) के शून्यक `2x-3=0` तथा `3x+1=0` से प्राप्त होंगे ।
`:." "2x-3=0" "rArr" "x=(3)/(2)`
तथा `3x+1=0" "rArr" "x=-(1)/(3)`
अतः p(x) के शून्यक `=(3)/(2),-(1)/(3)`
अब `p(x)=6x^(2)-7x-3` से
`a=6,b=-7,c=-3`
`:." "-(b)/(a)=-((-7))/(6)=(7)/(6)=(3)/(2)+(-(1)/(3))`
= शून्यको का योग
तथा `(c)/(a)=(-3)/(6)=-(1)/(2)=(3)/(2)xx(-(1)/(3))`
= शून्यको का गुणनफल
अतः बहुपद के शून्यको तथा गुणांकों के मध्य सम्बन्ध सत्य हैं ।
(iv) माना `p(u)=4u^(2)+8u=4u(u+2)`
p(u) के शून्यक 4u=0 तथा u+2=0 से प्राप्त होंगे।
`:." "4u=0" "rArr" "u=0`
तथा `u+2=0" "rArr" "u=-2`
अतः p(u) के शून्यक `=0,-2`
अब `p(u)=4u^(2)+8u` से, `a=4,b=8,c=0`
`:." "-(b)/(a)=-(8)/(4)=-2=0+(-2)=` शून्यको का योग
तथा `(c)/(a)=(0)/(4)=0=0(-2)=` शून्यको का गुणनफल
अतः बहुपद के शून्यको तथा गुणांकों में सम्बन्ध सत्य हैं ।
(v) माना `p(t)=t^(2)-15`
`=t^(2)-(sqrt(15))^(2)=(t-sqrt(15))(t+sqrt(15))`
p(t) के शून्यक `t=sqrt(15)=0` तथा `t+sqrt(15)=0` से प्राप्त होंगे ।
अब `t-sqrt(15)=0" "rArr" "t=sqrt(15)`
तथा `t+sqrt(15)=0" "rArr" "t=-sqrt(15)` ltbr. `:.p(t)` के शून्यक `=sqrt(15)` और `-sqrt(15)`
`p(t)=t^(2)-15` से
`a=1,b=0,c=-15`
`:." "-(b)/(a)=-(0)/(1)=0=sqrt(15)+(-sqrt(15))`
= शून्यको का योग
और `(c)/(a)=(-15)/(1)=-15`
`=(sqrt(15))(-sqrt(15))`
= शून्यको का गुणनफल
अतः बहुपद के शून्यको तथा गुणांकों में सम्बन्ध सत्य हैं ।
(vi) माना `p(x)=3x^(2)-x-4=3x^(2)-4x+3x-4`
`=x(3x-4)+1(3x-4)`
`=(3x-4)(x+1)`
p(x) के शून्यक `3x-4=0` तथा `x+1=0` से प्राप्त होंगे ।
अब `3x-4=0" "rArr" "x=(4)/(3)`
तथा `x+1=0" "rArr" "x=-1`
`:.p(x)` के शून्यक `(4)/(3)` और -1 हैं |
`p(x)=3x^(2)-x-4` से
`=3,b=-1,c=-4`
`:." "-(b)/(a)=-((-1))/(3)=(1)/(3)=(4)/(3)+(-1)`
= शून्यको का योग
तथा `(c)/(a)=(-4)/(3)=(4)/(3)xx(-1)=` शून्यको का गुणनफल
अतः बहुपद के शून्यको तथा गुणांकों में सम्बन्ध सत्य हैं ।