एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यको के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं :
(i) `(1)/(4),-1` , (ii) `sqrt(2),(1)/(3)`
(iii) `0,sqrt(5)` , (iv) 1,1
(v) `-(1)/(4),(1)/(4)` , (vi) 4,1

Explanation

(i) माना बहुपद के शून्यक `alpha` और `beta` हैं |
`:." "alpha+beta=(1)/(4)` तथा `alphabeta=-1`
`:.` द्विघात बहुपद `=(x-alpha)(x-beta)=x^(2)-(alpha+beta)x+alphabeta`
`=x^(2)-(1)/(4)x-1=(1)/(4)(4x^(2)-x-4)`
`:.` अभीष्ट बहुपद `=4x^(2)-x-4`
(ii) माना बहुपद के शून्यक `alpha` और `beta` हैं
`:." "alpha+beta=sqrt(2)` तथा `alphabeta=(1)/(3)`
`:.` द्विघात बहुपद `=(x-alpha)(x-beta)`
`=x^(2)-(alpha+beta)x+alphabeta`
`=x^(2)-sqrt(2)x+(1)/(3)`
`=(1)/(3)(3x^(2)-3sqrt(2)x+1)`
`:.` अभीष्ट बहुपद `=3x^(2)-3sqrt(2)x+1`
(iii) माना बहुपद के शून्यक `alpha` और `beta` हैं
`:." "alpha+beta=0` तथा `alphabeta=sqrt(5)`
`:.` द्विघात बहुपद `=(x-alpha)(x-beta)`
`=x^(2)-(alpha+beta)x+alphabeta`
`=x^(2)-0(x)+sqrt(5)=x^(2)+sqrt(5)`
(iv) माना बहुपद के शून्यक `alpha` और `beta` हैं |
`:." "alpha+beta=1` तथा `alphabeta=1`
`:.` द्विघात बहुपद `=(x-alpha)(x-beta)`
`=x^(2)-(alpha+beta)x+alphabeta=x^(2)-x+1`
(v) माना बहुपद के शून्यक `alpha` और `beta` हैं
`:." "alpha+beta=-(1)/(4)` तथा `alphabeta=(1)/(4)`
अब द्विघात बहुपद `=(x-alpha)(x-beta)=x^(2)-(alpha+beta)x+alphabeta`
`=x^(2)+(1)/(4)x+(1)/(4)`
`=(1)/(4)(4x^(2)+x+1)`
अतः अभीष्ट बहुपद `=4x^(2)+x+1`
(vi) माना बहुपद के शून्यक `alpha` और `beta` हैं
`:." "alpha+beta=4` तथा `alphabeta=1`
अब द्विघात बहुपद `=(x-alpha)(x-beta)`
`=x^(2)-(alpha+beta)x+alphabeta=x^(2)-4x+1`