पृथ्वी की सतह से गहराई में जाने पर g का मान किस प्रकार बदलता है ? आवश्यक सूत्र स्थापित कीजिए। सिद्ध कीजिए की पृथ्वी के केंद्र पर g का मान शून्य है।

Explanation

त्रिज्या R , द्रव्यमान M तथा D औसत घनत्व की पृथ्वी की सतह पर ( जहाँ गुरुत्वीय त्वरण का मान g है ) स्थित द्रव्यमान m के पिण्ड पर गुरुत्व-बल ( या पिण्ड का भार )
`mg=G(Mm)/(R^(2))" "` ...(1)
अब, माना की पृथ्वी की सतह से h गहराई पर `(R-h)` त्रिज्या के ठोस गोले की सतह पर द्रव्यमान m का पिण्ड स्थित है। स्पष्ट है कि यह पिण्ड h मोटाई के खोखले गोल कवच के अंदर है तथा किसी खोखले गोल कवच के अंदर स्थित पिण्ड पर आकर्षण बल शून्य होता है। अतः पिण्ड पर केवल ठोस गोले के कारण आकर्षण बल कार्य करता है। यदि इस ठोस गोले का द्रव्यमान m' तथा पृथ्वी तल से h गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण g' हो, तो यह आकर्षण बल पिंड के भार mg' के बराबर होगा। अतः
`mg'=G(M'm)/((R-h)^(2))" " `…(2)
समी. (2) में समी. (1) को भाग देने पर,
`(g')/(g)=(G (M')/((R-h)^(2)))/(GM//R^(2))`
`(g')/(g)=G(GM')/((R-h)^(2))xx(R^(2))/(GM)" "`...(3)
सूत्र, द्रव्यमान = आयतन `xx ` घनत्व से,
`M=(4)/(3) pi R^(3)D " " ` ...(4)
एवं `M'=(4)/(3) pi (R-h)^(3)D " " ` ...(5)
समी. (3 ) सेमी. (4 ) व (5 ) में मान रखने पर,
`(g')/(g)=(G xx (4)/(3)pi (R-h)^(3)D xx R^(2))/((R-h)^(2) xx G xx (4)/(3)pi R^(3)D)`
`(g')/(g)=(R-h)/(R )" " ` ..(6)
समी (6 ) में `(R-h)` का मान R से कम है, अतः g' का मान g से कम होगा।
अर्थात गहराई बढ़ने पर g का मान घटता है।
पृथ्वी के केंद्र पर ( h = R पर ) समी (6 ) से,
`(g')/(g)=0` या `g'=0`
अर्थात गुरुत्वीय त्वरण शून्य होता है।