केपलर के नियमों से न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम की व्याख्या कीजिए।

Explanation

केपलर के नियमों से न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम की व्याख्या - केपलर के द्वितीय नियम के अनुसार, किसी ग्रह की क्षेत्रफलीय चाल नियत रहती है। अतः वृत्ताकार कक्षा में ग्रह की रेखीय चाल (v ) नियत होगी। चूँकि ग्रह लगभग वृत्ताकार पथ पर चल रहा है, अतः ग्रह पर केन्द्र ( सूर्य ) की ओर एक अभिकेंद्रीय बल F लगता है :
`F=(mv^(2))/(r )`
जहाँ M ग्रह का द्रव्यमान है, v ग्रह का रेखीय चाल है तथा r वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या है।
माना ग्रह का परिक्रमण काल T है। तब
`T = ("एक चक्कर में तय की गयी दूरी")/("रेखीय चाल") =(2pi r)/(v )`
`rArr =v=(2pi r)/(T)`
अतः `F=(m)/(r ) ((2pi r)/(T))^(2)=(4pi^(2)mr)/(T^(2))`
परन्तु केपलर के तृतीय नियम से, `T^(2)=Kr^(3)`, जहाँ K नियतांक है।
`therefore F=(4pi^(2)mr)/(Kr^(3))=(4pi^(2))/(K)((m)/(r^(2))) " " ` ...(1 )
`F prop (m)/(r^(2))`
इस प्रकार, केपलर के नियमों के आधार पर न्यूटन ने निम्नलिखित निष्कर्ष दिये -
(1 ) ग्रह पर एक ( अभिकेंद्रीय ) बल कार्य करता है जिसकी दिशा सूर्य की ओर होती है।
(2 ) यह बल ग्रह तथा सूर्य के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है
`(F prop (1)/(r^(2)))`
(3 ) यह बल ग्रह के द्रव्यमान के अनुक्रमानुपाती होता है `(F prop m)`।
चूँकि ग्रह तथा सूर्य के बीच बल पारस्परिक है, अतः बल F सूर्य के द्रव्यमान M के भी अनुक्रमानुपाती होना चाहिए। अतः हम समी (1 ) में नियतांक `(4pi^(2))/(K)` के स्थान पर GM लिख सकते है जहाँ G अन्य नियतांक है। अतः
`F=G(Mm)/(r^(2))`
यही न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम है ।