कृत्रिम उपग्रह की कक्षीय चाल एवं परिक्रमण काल के लिये व्यंजक निकालिए।

Explanation

माना की पृथ्वी ( ग्रह ) का द्रव्यमान M और त्रिज्या R है। द्रव्यमान m का कोई उपग्रह, पृथ्वी के केन्द्र से दूरी r पर स्थित वृत्तीय कक्षा में v चाल से पृथ्वी की परिक्रमा कर रहा है।
(i ) कक्षीय चाल का व्यंजक - उपग्रह पर कार्यशील गुरुत्वाकर्षण बल `=(GMm)/(r^(2))`
परन्तु कक्षा के लिए अभिकेंद्रीय बल = गुरुत्वाकर्षण बल
`therefore (mv^(2))/(r )=G(Mm)/(r^(2))` या `v^(2)=(Mm)/(r )`
`therefore v=sqrt((GM)/(r ))`
पृथ्वी की सतह से यदि उपग्रह की ऊँचाई h है तब `r=R +h`
अतः `v=((GM)/(R+h)) " " ["सूत्र" - GM=gR^(2)" से"]`
`v=sqrt((gR^(2))/(R+h)) =R sqrt((g)/(R+h))`
(ii ) h ऊँचाई की कक्षा के लिये परिक्रमण काल -
`T=(2pi(R+h))/(v) [ "वृत्तीय कक्षा में परिक्रमण काल"=("परिधि")/("कक्षीय चाल")]`
`therefore T=(2pi(R+h))/(R sqrt(g)//sqrt((R+h)))=(2pi(R+h)^(3//2))/(R sqrt(g))`
`therefore T=(2pi)/(R )sqrt(((R+h)^(3))/(g))`
पृथ्वी के निकट h को नगण्य मानने पर,
`T=2pi sqrt((R)/(g))`