M द्रव्यमान वाली एक पतली एकसमान वलयाकार डिस्क (चित्र देखिए) की बाह्य एवं आन्तरिक त्रिज्यायें क्रमश: 4R तथा 3R है। एक इकाई द्रव्यमान को डिस्क के अक्ष पर स्थित बिन्दु प के अनंत तक ले जाने में किया गया कार्य है

Options

A. `(2GM)/(7R)(4sqrt(2)-5)`
B. `-(2GM)/(7R)(4sqrt(2)-5)`
C. `(GM)/(4R)`
D. `(2GM)/(5R)(sqrt(2)-1)`

Answer

A

Explanation

`W=DeltaU=U_(f)-U_(i)=U_(oo)-U_(P) `
`=-U_(P)`
`=-mV_(P)`
`=-V_(P)" " (because m=1)`
बिन्दु P पर विभव का मान निम्न समाकलन से ज्ञात किया जा सकता है।

(माना चित्र में दर्शाए गए छोटे वलय का द्रव्यमान dM है।)
`dM=(M)/(pi(4R)^(2)-pi(3R)^(2))(2pi r)dr`
`=(2Mr dr)/(7R^(2))`
`dV_(P)= -(G*dM)/(sqrt(16R^(2)+r^(2)))`
`V_(P)= -(2GM)/(7R^(2)) int_(3R)^(4R) (r)/(sqrt(16R^(2)+r^(2)))*dr`
`= -(2GM)/(7R)(4sqrt(2)-5)`
`therefore W= +(2GM)/(7R) (4sqrt(2)-5)`