एक एकसमान घनत्व के तरल के गोलाकार पिण्ड की त्रिज्या R है तथा यह अपने स्वयं के गुरुत्व के प्रभाव में साम्यावस्था में है। यदि इसके केंद्र से दूरी `r(r lt R)` पर दाब `P(r)` है, तब सही विकल्प है (हैं)

Options

A. `P(r=0)=0`
B. `(P(r-3R//4))/(P(r=2R//3))=(63)/(80)`
C. `(P(r=3R//5))/(P(r=2R//5))=(16)/(21)`
D. `(P(r=R//2))/(P(r=R//3))=(20)/(27)`

Answer

B,C

Explanation

द्रव्यमान m के कारण दूरी r पर गुरुत्वीय क्षेत्र
`E=(G rho (4)/(3)pi r^(3))/(r^(2))=(4G rho pi r)/(3)`
दूरी r पर चौड़ाई dr तथा क्षेत्रफल dA वाले एक छोटे अवयव पर विचार करें।
इस अवयव पर बाहर की ओर लगने वाला दाब = m से dm पर अन्दर की ओर लगने वाला गुरुत्वीय बल
`rArr (dp)DeltaA=E(dm)`
`rArr -dp*DeltaA=((4)/(3)Gpi rho r)(DeltaAdr*rho)`
`-int_(0)^(p)dp=int_(R)^(r) ((4G rho^(2)pi)/(3))r dr`

`-p=(4G rho^(2)pi)/(3xx2)[r^(2)-R^(2)]rArr p=c(R^(2)-r^(2))`
`r=(3R)/(4), p_(1)=c(R^(2)-(9R^(2))/(16))=c((7R^(2))/(16))`
`r=(2R)/(3), p_(2)=c(R^(2)-(4R^(2))/(9))=c((5R^(2))/(9))`
`(p_(1))/(p_(2))=(63)/(80)`
`r=(3R)/(5), p_(3)=c(R^(2)-(9)/(25)R^(2))=c((16R^(2))/(25))`
`r=(2R)/(5), p_(4)=c(R^(2)-(4R^(2))/(25))=c((21R^(2))/(25))`
`(p_(3))/(p_(4))=(16)/(21)`