एक ठोस पिण्ड X जिसकी उष्माधारिता C है, ताप `T_(A)=300` केल्विन पर वायुमण्डल में रखा गया है | समय t = 0 पर X का ताप `T_(0)=400` केल्विन है | यह न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार ठंडा होता है | समय `t_(1)` पर इसका ताप 350 केल्विन पाया जाता है | इस समय `(t_(1))` पर पिण्ड X को एक चालक-छड़ के द्वारा वायुमणडल ताप पर एक बड़े बक्से Y से जोड़ दिया जाता है | चालक-छड़ की लम्बाई L परिच्छेद क्षेत्रफल A तथा ऊष्मा छलकता K है | Y की उष्माधारिता इतनी अधिक है कि इसके ताप में होने वाले परिवर्तन को नगण्य माना जा सकता है | जोड़ी जाने वाली छड़ का परिच्छेद क्षेत्रफल A पिण्ड X के पृष्ठ क्षेत्रफल की तुलना में बहुत कम है | समय `t=3t_(1)` पर पिण्ड X का ताप ज्ञात कीजिए |

Answer

`[300+12.5e^(-(2KAt_(1))/(CL))]` केल्विन

Explanation

प्रश्न के प्रथम भाग में `(t le t_(1))`
`t_(1)=0` पर, `T_(X)=T_(0)=400` केल्विन तथा `t=t_(1)` पर `T_(X)=T_(1)=350` केल्विन
वातावरण का ताप, `T_(A)=300` केल्विन (नियतांक)
न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार यह शीतल हो जाएगा |

शीतलन की दर `prop` तापान्तर
`therefore (-(dT)/(dt))=K(T-T_(A))rArr (dT)/(T-T_(A))=-K.dt`
या `int_(T_(0))^(T_(1))(dT)/(T-T_(A))=-K int_(0)^(t), dt`
या `ln((T_(1)-T_(A))/(T_(0)-T_(A)))=-Kt_(1)`
या `Kt_(1)=-ln ((350-300)/(400-300))`
या `Kt_(1)=log(2) " "` ....(i)
दूसरे भाग में , पिण्ड X विकिरण (Radiation) तथा चालन (Convection) द्वारा शीतलता प्रवाह करता है (न्यूटन के नियमानुसार)

शीतलन की दर = विकिरण द्वारा शीतलन + चालन द्वारा शीतलन
`therefore (-(dT)/(dt))=K(T-T_(A))+(KA)/(CL)(T-T_(A))" "` ...(ii)
चालन में, `(dQ)/(dt)=(KA(T-T_(A)))/(L)=C (-(dT)/(dt))`
`therefore (-(dT)/(dt))=(KA)/(LC)(T-T_(A))`
जहाँ, C = X की उष्माधारिता
`(-(dT)/(dt))=(K+(KA)/(CL))(T-T_(A)) " "` ....(iii)
माना `t=3t_(1)`, पर X का ताप `T_(2)` है |
समी (iii) से,
`int_(T_(1))^(T_(2))(dT)/(T-T_(A))=-(K+(KA)/(LC))int_(t_(1))^(3t_(1))dt`
या `ln((T_(2)-T_(A))/(T_(1)-T_(A)))=-(K+(KA)/(LC))(2t_(1))`
`=-(2Kt_(1)+(2KA)/(LC)t_(1))`
या `ln((T_(2)-300)/(350-300))=-2 ln(2)-(2KAt_(1))/(LC)`
हल करने पर, `T_(2)=(300+12.5e^((-2KAt_(1))/(CL)))` केल्विन