दो मोल एकपरमाणुक आदर्श गैस का प्रारम्भ में दाब `p_(1)` तथा आयतन `V_(1)` है | इसके आयतन का `V_(2)` तक रुद्धोष्म संपीडन किया जाता है फिर इसे नियत आयतन `V_(2)` पर Q ऊष्मा दी जाती है
(a) पूरी प्रक्रिया को p - V आरेख पर चित्रित कीजिए |
(b) गैस द्वारा किया गया कुल कार्य, इसकी आन्तरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन तथा इसका अन्तिम ताप ज्ञात कीजिए (अपने उत्तर `p_(1), V_(1), V_(2), Q` तथा R के पदों में व्यक्त कीजिए)

Answer

(b) (i) `W_("कुल")=-(3)/(2)p_(1)V_(1)[((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)-1]`
(ii) `Delta U_("कुल")=(3)/(2)p_(1)V_(1)[((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)-1]+Q`
(iii) `T_("अन्तिम")=(Q)/(3R)+(p_(1)V_(1))/(2R)((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)`

Explanation

(a) सम्पूर्ण प्रक्रम के लिए p - V आरेख निम्न प्रकार होगा

प्रक्रम `A to B` रुद्धोष्म संपीडन है
तथा प्रक्रम `B to C` समआयतनिक है |
(b)
(i) गैस द्वारा कुल कृत कार्य
प्रक्रम `A to B` कुल कृत कार्य
`W_(AB)=(p_(A)V_(A)-p_(B)V_(B))/(gamma -1)`
या `W_("रुद्धोष्म")=(p_(i)V_(i)-p_(f)V_(f))/(gamma -1)`
`W_("रुद्धोष्म")=(p_(1)V_(1)-p_(2)V_(2))/((5)/(3)-1)`
(`gamma = 5//3`, एकपरमाणुक गैस के लिए)
`W_("रुद्धोष्म")=(p_(1)V_(1)-p_(1)((V_(1))/(V_(2)))^(gamma)V_(2))/(2//3) " " [p_(1)V_(1)^(gamma)=p_(2)V_(2)^(gamma) therefore p_(2)=p_(1)((V_(1))/(V_(2)))^(gamma)]`
`=(3)/(2)p_(1)V_(1)[1-((V_(1))/(V_(2)))^(gamma-1)]`
`=-(3)/(2)p_(1)V_(1)[((V_(1))/(V_(2)))^(5//3-1)-1]`
`=-(3)/(2)p_(1)V_(1)[((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)-1]`
प्रक्रम `B to C` कृत कार्य `W_(BC)=0` (V = नियतांक)
`therefore W_("नेट")=W_(AB)+W_(BC)`
`=-(3)/(2)p_(1)V_(1)[((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)-1]`
(ii) आन्तरिक ऊर्जा में परिवर्तन
प्रक्रम `A to B Q_(AB)=0` (रुद्धोष्म प्रक्रम)
`therefore Delta U_(AB)=-W_(AB)=(3)/(2)p_(1)V_(1)[((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)-1]`
प्रक्रम `B to C` प्रक्रम BC में, `W_(BC)=0`
`therefore Delta U_(BC)=Q_(BC)=Q " "` (दिया है)
`therefore Delta U_("कुल")=Delta U_(AB)+Delta U_(BC)`
`=(3)/(2)p_(1)V_(1)[((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)-1]+Q`
(iii) गैस का अन्तिम ताप
`Delta U_("नेट")=nC_(V)Delta T=2((R )/(gamma -1))(T_(C )-T_(A))`
`therefore (3)/(2)p_(1)V_(1)[((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)-1]+Q`
`=(2R)/(5//3-1)(T_(C )-(P_(A)V_(A))/(2R))`
या `(3)/(2)p_(1)V_(1)[((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)-1]+Q=3R(T_(C )-(p_(1)V_(1))/(2R))`
`therefore T_(C )=(Q)/(3R)+(p_(1)V_(1))/(2R)((V_(1))/(V_(2)))^(2//3)=T_("अन्तिम")`