दो मोल एकपरमाणुक आदर्श गैस को चक्र ABCA द्वारा ले जाया जाता है जैसा कि p - T आरेख में दिखाया गया है | प्रक्रम AB के दौरान गैस के दाब तथा ताप इस प्रकार परिवर्तित होते है कि pT = नियतांक यदि `T_(1)=300` केल्विन, तब गणना कीजिए

(a) प्रक्रम AB में गैस पर किया गया कार्य
(b) प्रत्येक प्रक्रम में गैस द्वारा अवशोषित अथवा मुक्त ऊष्मा (उत्तर गैस नियतांक R के पदों में दीजिए)

Answer

(a) 1200 R (b) `Q_(AB)=-2100 R, Q_(BC)=1500 R, Q_(CA)=831.6 R`

Explanation

(a ) मोलों की संख्या, n = 2, `T_(l)=300` केल्विन
AB प्रक्रम के लिए,
pT = नियतांक या `p^(2)V=` नियतांक = K (माना)
`therefore p=(sqrt(K))/(sqrt(V))`
`therefore W_(A to B)=int_(V_(A))^(V_(B))p.dV=int_(V_(A))^(V_(B))(sqrt(K))/(sqrt(V))dV`
`=2sqrt(K)[sqrt(V_(B))-sqrt(V_(A))]`
`=2[sqrt(KV_(B))-sqrt(KV_(A))]`
`= 2[sqrt((p_(B)^(2)V_(B))V_(B))-sqrt((p_(A)^(2)V_(A))V_(A))]`
`= 2[p_(B)V_(B)-p_(A)V_(A)]=2[nRT_(A)]`
`= 2nR[T_(1)-2T_(1)]=(2)(2)(R )[300-600]`
`= - 1200 R`
अतः प्रक्रम AB में गैस पर किया गया कार्य 1200 R है |
वैकल्पिक हल
pV = nRT
`therefore pdV+Vdp=nRdT`
या `pdV+((nRT))/(P).dp=nRdT " "` ...(i)

दी गई स्थिति से,
pT = नियतांक
`therefore pdT+Tdp=0 " "` ...(ii)
समी (i) व (ii) से,
`pdV=2nRdT`
`therefore W_(A to B)=int pdV = 2nR int_(T_(A))^(T_(B))dT`
`=2nR(T_(B)-T_(A))=2nR(T_(1)-2T_(1))`
`=(2)(2)(R )(300 - 600)`
या `W_(A to B)=01200 R`
(b) विभिन्न प्रक्रमों में उत्सर्जित/अवशोषित ऊष्मा
चूँकि गैस एकपरमाणुक है, इसलिए
`C_(V)=(3)/(2)R` तथा `C_(p)=(5)/(2)R, gamma = (5)/(3)`
प्रक्रम `A to B Delta U = n C_(V)Delta T`
`=(2)((3)/(2)R)(T_(B)-T_(A))`
`= (2)((3)/(2)R)(300-600)=-900 R`
`therefore Q_(A to B) = W_(A to B)+Delta U`
`= (-1200R)-(900 R)`
`Q_(A to B)=-2100 R` (मुक्त)
वेल्क्पिक हल
`pV^(x)=` नियतांक
मोलर ऊष्मा धारिता,
`C=(R )/(gamma -1)+(R )/(1-x)`
यहाँ, `p^(2)V=` नियतांक अर्थात `pV^(1//2)=` नियतांक
अर्थात, `x=(1)/(2)`
`therefore C = (R )/((5)/(3)-1)+(R )/(1-(1)/(2))`
`rArr C = 3.5 R`
`therefore Q_(A to B)=nC Delta T`
`= (2)(3.5 R)(300-600)`
`=-2100 R`
प्रक्रम `B to C` प्रक्रम समदाबी है |
`therefore Q_(B to C)=nC_(p)Delta T`
`=(2)((5)/(2)R)(T_(C )-T_(B))=2((5)/(2)R)(2T_(1)-T_(1))`
`= (5R)(600 - 300)=1500 R` (अवशोषित)
प्रक्रम `C to A` प्रक्रम समतापीय है |
`therefore Delta U = 0`
तथा `Q_(C to A)=W_(C to A)=nRT_(C )ln ((P_(C ))/(P_(A)))=nR(2T_(1))ln((2p_(a))/(p_(1)))`
`=(2)(R )(600)ln (2)=831.R` (अवशोषित)