लम्बाई L तथा अनुप्रस्थ - क्षेत्रफल A वाली छड़ का एक सिरा `T_(1)` तापमान वाली भट्टी में रखा है | छड़ का दूसरा सिरा ताप `T_(2)` पर है | छड़ के पदार्थ की ऊष्मा चालकता K तथा उत्सर्जकताe है | दिया है : `T_(2)=T_(s)+Delta T`, जहाँ `Delta T lt lt T_(s), T_(s)` वातावरण का तापमान है | यदि `Delta T prop (T_(1)-T_(s))`, तो अनुक्रमानुपाती नियतांक का मान ज्ञात कीजिए | मान कीजिए कि ऊष्मा का क्षय, केवल `T_(2)` ताप वाले सिरे से विकिरण के रूप में हो रहा है |

Answer

अनुक्रमानुपाती नियतांक `=("केल्विन")/(4e sigma LT_(s)^(3)+"केल्विन")`

Explanation

छड़ में ऊष्मा चालन की दर = छड़ के दाएँ सिरे से ऊष्मा उत्सर्जन की दर
`therefore KA(T_(1)-T_(2))= eA sigma (T_(2)^(4)-T_(s)^(4)) " "` ...(i)
दिया है, `T_(2)=T_(s)+Delta T`
`therefore T_(2)^(4)=(T_(s)+Delta T)^(4)=T_(s)^(4)(1+(Delta T)/(T_(s)))^(4)`
या `T_(2)^(4)=T_(s)^(4)(1+4(Delta T)/(T_(s))) " "` (द्विपद विस्तार से, `Delta T lt lt T_(s)`)
`therefore T_(2)^(4)-T_(s)^(4)=4(Delta T)(T_(s)^(3))`
यह मान समी (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
`(K(T_(l)-T_(s)-Delta T))/(L)=4 e sigma T_(s)^(3)Delta T`
या `(K(T_(l)-T_(s)))/(L)=(4e sigma T_(s)^(3)+K)`
दिए गए सम्बन्ध से तुलना करने पर अनुक्रमानुपाती नियतांक
`= (K)/(4e sigma LT_(s)^(3)+K)`