एक अर्धगोलाकार प्याला जिसकी त्रिज्या `R=0.1` मी है , कोणीय वेग `omega` से अपनी उर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूम रहा है। एक कण जिसका द्रव्यमान `10^(-2)` किग्रा है , प्याले के घर्षणहीन आन्तरिक तल पर उसी कोणीय वेग `omega` से घूम रहा है। कण प्याले की तली से h ऊँचाई पर है।
(a) h तथा `omega` के बीच संबंध ज्ञात कीजिए। h के अशून्य (non-zero) मान के लिए `omega` का न्यूनतम मान क्या होना चाहिए ?
(b) इस समायोजन द्वारा h को यथार्थतापूर्वक माप कर , गुरुत्वीय त्वरण , g को मापना है। यह मानकर कि R तथा `omega` परिशुद्धता से ज्ञात है तथा h की माप में अल्पतमांक `10^(-4)` मी है , g के मापे गए मान में न्यूनतम संभव त्रुटि क्या है ?

Answer

(a) `h=R-(g)/(omega^2) , omega_("min") = sqrt((g)/( R))=9.89` rad/s.
(b) `9.8 xx 10^(-3) "मी/से"^(2)`

Explanation

दिया है `R =0.1` मी , `m=10^(-2)` किग्रा
(a) कण के लिए पार्थिव निर्देश फ्रेम में बल निर्देशक आरेख चित्र में दर्शाया गया है।
अतः `tan theta =( r)/( R -h)`
`N cos theta = mg` …. (i)

तथा `N sin theta = m r Omega^(2)` ....(ii)
समी (ii) को समी (i) से भाग देने पर
`tan theta =( r Omega^2)/(g)`
या `( r)/(R-h) =( rOmega^2)/(g)`
या `Omega^2 =(g)/( R-h)` ......(iii) यदि `Omega` तथा h के बीच वांछित प्रतिबंध है।
समी (iii) से `h=R -(g)/(Omega^2)`
h के अशून्य मान के लिए ` R gt (g)/(Omega^2)` या `Omega gt sqrt((g)/( R))`
`therefore Omega_("न्यूनतम")=sqrt((g)/( R))= sqrt((9.8)/(0.1))=9.89` रेडियन/से
(b) समी (iii) से `h= R -(g)/(Omega^2)`
यदि R व `Omega` का मान परिशुद्धता से ज्ञात है तो `Delta h =-(Delta g)/(Omega^2)`
या `Delta g= Omega^2 Delta h` (ऋणतात्मक चिन्ह छोड़ने पर)
`(Deltag)_("न्यूनतम") = (Omega_("न्यूनतम")^(2) Delta h =9.8 xx 10^(-3) "मी/से"^(2)`.