एक चिकने अर्धवृत्ताकार आकृति की R त्रिज्या वाली तार की ऊर्ध्व तल में स्थित है। लीक के निम्नतम बिन्दु O पर `(3R)/(4)` स्वाभाविक लम्बाई की एक भारहीन स्प्रिंग का एक सीरा जुड़ा है। स्प्रिंग का दूसरा सीरा m द्रव्यमान के एक छल्ले बिन्दु P पर स्थितरावस्था में है तब स्प्रिंग उर्ध्व से `60^@` का कोण बनाती है। स्प्रिंग नियतांक `k=mg//R` है। जब छल्ले को मुक्त किया जाता है तब

(a) छल्ले का बल निर्देशांक आरेख बनाइये।
(b) छल्ले के स्पर्शरेखीय त्वरण तथा अभिलम्ब प्रतिक्रिया के मान ज्ञात कीजिए।

Answer

(b) `(5sqrt(3))/(8)g,(3mg)/(8)`

Explanation

`CP =CO =R`(वृत्त की त्रिज्या) `therefore angle CPO = angle POC =60^@`
`therefore angle OCP =60^@`
अर्थात `Delta OCP` एक समबाहू त्रिभुज है।
`rArr OP=R`
स्प्रिंग की स्वाभाविक लम्बाई `(3R)/(4)` है।

`therefore` स्प्रिंग की लम्बाई में वृद्धि `x =R -(3R)/(4)=(R)/(4)`
`rArr` स्प्रिंग बल , `F=kx =(mg)/( R).( R)/(4) =(mg)/(4)`
(iii) छल्ले का बल निर्देशक आरेख चित्रानुसार होगा `F=kx =(mg)/(4)`.
(b) स्पर्शरेखीय त्वरण `(a_T)` - मुक्त करने पर छल्ला x-अक्ष की दिशा में गति करेगा अतः x- अक्ष की दिशा में नेट बल

`F_(x) =F sin 60^@ +mg sin 60^@`
`((mg)/(4))(sqrt(3))/(2) +mg ((sqrt(3))/(2))=(5sqrt(3))/(8)mg`
छल्ले के गतिमान होने पर y-अक्ष के अनुदिश नेट बल का मान शून्य होगा अर्थात `F_(y) =0`
`therefore N + F cos 60^@ =mg cos 60^@`
`therefore N= mg cos 60^@- F cos 60^@ =(mg)/(2) -(mg)/(4) ((1)/(2))`
`=(mg)/(2)-(mg)/(8)rArr N=(3mg)/(8)`.