एक कण बिंदु O से लम्बाई L की एक भरहीं अवितानय डोरी द्वारा उर्ध्वार्धर लटकाया गया है। बिंदु O से `L //8 ` दुरी पर एक उर्ध्वार्धर रेखा AB है। कण को क्षैतिज वेग u दिया जाता है। किसी बिंदु पर कण की गति वृत्तीय नहीं रह जाती है तथा अंत में कण रेखा AB को पार कर जाता है। AB को पार करते समय कण का वेग क्षैतिज है , u का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

`u = sqrt(gL(2 + (3 sqrt 3)/(2)))`

Explanation

मना डोरी बिंदु Q पर, ढीली पड़ती है।
बिंदु P से Q तक मार्ग वृत्ताकार तथा Q के आगे मार्ग परवलयाकार है। C बिंदु पर कण की गति का वेग क्षैतिज है, अतः `QD =` प्रक्षेप्य की परास का अर्द्।
पुरे समायोजन के लिए निम्न समीकरणे प्राप्त होती है।

`(a) T _(Q) =0 " "therefore mg sin theta = (mv^(2))/(L)" "(i)`
`(b) v ^(2) =u^(2) -2gh =u^(2) -2gL (1 + sin theta )" "(ii)`
`(c) QD =1/2` (परास)
`implies (L cos theta - (L)/(8)) = (v ^(2) sin 2 (90 ^(@) - theta ))/(2g ) = (v ^(2) sin 2 theta )/(2g ) " "...(iii)`
सभी (iii) को निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है
`(cos theta - (1)/(8)) = sin ^(2) theta . cos theta = (1 - cos ^(2) theta )cos theta `
या `cos theta - (1)/(8) = cos theta - cos ^(3) theta`
या `cos ^(3) theta = 1/8 implies cos theta = 1/2`
या ` theta = 60^(@)`
समी (i ) से,
` v ^(2) = gL sin theta = gL sin 60^(@)`
या `v ^(2) = (sqrt3)/(2) gL`
यह मान समी (ii ) में प्रतिस्थापित करने पर,
`u ^(2) = v ^(2) + 2gL (1 + sin theta )`
`= (sqrt 3)/(2) gL + 2gL (1_ (sqrt3)/(2))`
`= (3sqrt3)/(2) gL + 2gL =gL (2 + (3 sqrt3)/(2))`
`implies u= sqrt (gL (2 +(3sqrt3)/(2)))`