किसी समबाहु त्रिभुज ABC के प्रत्येक शीर्ष पर m kg तीन समान द्रव्यमान रखे है।
(a) इस त्रिभुज के केन्द्रक G पर रखे 2m kg के द्रव्यमान पर कितना बल आरोपित हो रहा है ?
(b) यदि शीर्ष A पर रखे द्रव्यमान को दो गुना कर दिया जाए, तो कितना बल आरोपित होगा ?
`AG=BG=CG=1m` लीजिए (देखिए चित्र)

Explanation

(a) चित्र की ज्यामिति से `+ X` अक्ष तथा GC के मध्य कोण `30^(@)` बनता है तथा इतना ही कोण `- X` अक्ष तथा GB के मध्य बनता है। बिन्दु A पर स्थित m द्रव्यमान के कारण बिन्दु G पर स्थित 2m द्रव्यमान पर कार्यरत बल
`vec(F)_(GA)=(Gm xx 2m)/((AG)^(2))` [GA के अनुदिश]
`rArr vec(F)_(GA)=(2m^(2))/(1)hat(j) " "` ....(1)
बिन्दु B पर स्थित m द्रव्यमान के कारण बिन्दु G पर स्थित 2m द्रव्यमान पर कार्यरत बल
`vec(F)_(GB)=(Gm xx 2m)/((BG)^(2))` [GB के अनुदिश]
`rArr vec(F)_(GB)=(2Gm^(2))/(1)(-hat(i)cos 30^(@)-hat(j)sin 30^(@)) " "` ....(2)
बिन्दु C पर स्थित m द्रव्यमान के कारण बिन्दु G पर स्थित 2m द्रव्यमान पर कार्यरत बल
`vec(F)_(GC)=(Gm xx 2m)/((CG)^(2))` [GC के अनुदिश]
`rArr vec(F)_(GC)=(2Gm^(2))/(1)(hat(i)cos 30^(@)-hat(j)sin 30^(@)) " "` ......(3)
इस प्रकार बिन्दु G पर स्थित 2m द्रव्यमान पर परिणामी बल
`vec(F)_(G)=vec(F)_(GA)+vec(F)_(GB)+vec(F)_(GC)`
`=2 Gm^(2)hat(j)+2 Gm^(2)(-hat(i)cos 30^(@)-hat(j)sin 30^(@))+2Gm^(2)(hat(i)cos30^(@)-hat(j)sin 30^(@))`
`=2Gm^(2)(hat(j)-hat(i)cos 30^(@)-hat(j)sin 30^(@)+hat(i)cos 30^(@)-hat(j)sin 30^(@))`
`=2Gm^(2)(hat(j)-2hat(j)sin 30^(@))`
`=2Gm^(2)(hat(j)-hat(j))=0 " " [because sin 30^(@)=(1)/(2)]`
(b) अब यदि बिन्दु A पर स्थित द्रव्यमान को दुगुना अर्थात 2m कर दिया जाये, तब
`vec(F)_(GA)=(G2m xx 2m)/((1)^(2))hat(j)=(4Gm^(2))/(1)hat(j)`
जबकि `vec(F)_(GB)` तथा `vec(F)_(GC)` अपरिवर्तित रहेंगे।
`therefore vec(F)_(G)=vec(F)_(GA)+vec(F)_(GB)+vec(F)_(GC)`
`=4Gm^(2)hat(j)+2Gm^(2)(-hat(i)cos 30^(@)-hat(j)sin 30^(@))+2Gm^(2)(hat(i)cos 30^(@)-hat(j)sin 30^(@))`
`= 2Gm^(2)(2hat(j)-hat(j))=2Gm^(2)hat(j)`