एक ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की दुगुनी है, परन्तु दोनों के औसत घनत्व समान है। यदि `v_(p)` तथा `v_(e )` क्रमशः ग्रह तथा पृथ्वी पर पलायन वेग हों, तो सिद्ध कीजिए कि `v_(p)=2v_(e )`

Explanation

माना ग्रह व पृथ्वी में से प्रत्येक का माध्य घनत्व `rho` है।
पृथ्वी पर पलायन वेग, `v_(e )=sqrt((2GM_(e ))/(R_(e ))) " "` ....(1)
पृथ्वी का द्रव्यमान `M_(e )=` पृथ्वी का आयतन `xx` घनत्व
`=(4)/(3)pi R_(e )^(3)rho`
`therefore v_(e )=sqrt(((2G(4//3pi R_(e )^(3)rho))/(R_(e ))))`
`= R_(e )sqrt(((8)/(3)pi G rho))`
ग्रह पर पलायन वेग,
`v_(p)=sqrt(((2GM_(P))/(R_(P))))`
`= sqrt(((2G(4//3pi R_(P)^(3)rho))/(R_(P))))`
`= R_(P)sqrt(((8)/(3)pi G rho)) " "` ....(2)
(जिसमें `R_(P)` ग्रह की त्रिज्या तथा `M_(P)` उसका द्रव्यमान है)
समीकरण (2) को (1) से भाग देने पर
`(v_(P))/(v_(e ))=(R_(p))/(R_(e ))=(2R_(e ))/(R_(e ))" "` (प्रश्नानुसार `R_(p)=2R_(e )`)
`therefore " " (v_(p))/(v_(e ))=2` या `v_(p)=2v_(e )`