यदि किसी कृत्रिम उपग्रह का पृथ्वी के ठीक ऊपर चक्कर लगाने का परिक्रमण काल T तथा पृथ्वी का घनत्व `rho` हो, तो सिद्ध कीजिए कि `T=sqrt((3pi)/(G rho))`| इसकी सहायता से दर्शाइये कि `T sqrt(rho)` एक सार्वत्रिक नियतांक है। इस नियतांक का मान भी ज्ञात कीजिए। `G=6.67xx10^(-11)` न्यूटन - `"मी."^(2)// "किग्रा."^(2)`

Explanation

उपग्रह का परिक्रमण काल
`T=2pi sqrt(((r^(3))/(GM)))`
पृथ्वी के ठीक ऊपर (h=0) उपग्रह की कक्षा की त्रिज्या
`r=R+h ~~R " " because h =` नगण्य
`therefore T = 2pi sqrt(((R^(3))/(GM)))`
पृथ्वी का द्रव्यमान
M = पृथ्वी का आयतन `xx` घनत्व
`=(4)/(3)pi R^(2)rho`
`T = 2pi sqrt(((R^(3))/(G.(4)/(3))pi R^(3)rho))=2pi sqrt(((3)/(4pi G rho)))`
या `T=sqrt(((3pi)/(G rho))) " "` .....(1)
इससे `T sqrt(rho)=((3pi)/(G))^(1//2) " "` ....(2)
`because pi` तथा G सार्वत्रिक नियतांक है अतः `((3pi)/(G))^(1//2)=` सार्वत्रिक नियतांक
`therefore T sqrt(rho)=((3pi)/(G))^(1//2)=` सार्वत्रिक नियतांक
`=((3xx3.14)/(6.67xx10^(-11)))^(1//2)`
`=3.75xx10^(5) "किग्रा."^(1//2)"मी."^(3//2)` सेकण्ड