`(a+b)^(4)-(a-b)^(4)` का विस्तार कीजिए । इसका प्रयोग करके `(sqrt(3)+sqrt(2))^(4)-(sqrt(3)-sqrt(2))^(4)` का मान ज्ञात कीजिए ।

Explanation

द्विपद प्रमेय से,
`because(a+b)^(4)=.^(4)C_(0)a^(4)b^(0)+^(4)C_(1)a^(3)B^(3)a^(3)b^(1)+^(4)C_(2)a^(2)b^(2)+^(4)C_(3)a^(1)b^(3)+^(4)C_(4)a^(0)b^(4)`
`=.^(4)C_(0)a^(4)+^(4)C_(1)a^(3)b+^(4)C_(2)a^(2)b^(2)+^(4)C_(3)ab^(3)+^(4)C_(4)b^(4)`
और `(a-b)^(4)=.^(4)C_(0)a^(4)C_(0)a^(4)(-b)^(0)+^(4)C_(1)a^(3)(-b)^(1)+^(4)C_(2)a^(2)(-b)^(2)+^(4)C_(3)a^(1)(-b)^(3)+^(4)C_(4)a^(0)(-b)^(4)`
`=.^(4)C_(0)a^(4)-^(4)C_(1)a^(3)b+^(4)C_(2)a^(2)b^(2)-^(4)C_(3)ab^(3)+^(4)C_(4)b^(4)`
`therefore(a+b)^(4)-(a-b)^(4)`
`=(.^(4)C_(0)a^(4)-.^(4)C_(1)a^(3)b+^(4)C_(2)a^(2)b^(2)+^(4)C_(3)ab^(3)+^(4)C_(4)b^(4))`
`=2.^(4)C_(1)a^(3)b+2.^(4)C_(3)ab^(3)=2ab[.^(4)C_(1)a^(2)+^(4)C_(3)b^(2)]`
`=ab[4a^(2)+4b^(2)]=8ab(a^(2)+b^(2))`
अतः `(a+b)^(4)-(a-b)^(4)=8ab(a^(2)+b^(2))`
`a=sqrt(3)` तथा `b=sqrt(2)` रखने पर,
`(sqrt(3)+sqrt(2))^(4)-(sqrt(3)-sqrt(2))=8sqrt(3)*sqrt(2)(3+2)=8sqrt(6)*(5)=40sqrt(6)`
अतः `(sqrt(3)+sqrt(2))^(4)-(sqrt(3)-sqrt(2))^(4)=40sqrt(6)`