यदि `(x+1)^(n)` के प्रसार में (r-1) वें , r वें और (r+1) वें पदों के गुणांकों में `1:3:5` का अनुपात हो तो n तथा r का मान ज्ञात कीजिए ।

Explanation

`(1+x)^(n)` के प्रसार में
`T_(r+1)=.^(n)C_(r)*x^(r)`
`therefore(r+1)` वें पद का गुणांक `=.^(n)C_(r)`
इसी प्रकार r वें पद का गुणांक `=.^(n)C_(r-1)`
और (r-1) वें पद का गुणांक `=.^(n)C_(r-2)`
प्रश्नानुसार `.^(n)C_(r-2):^(n)C_(r-1):^(n)C_(r)=1:3:5`
`therefore(.^(n)C_(r-2))/(.^(n)C_(r-1))=(1)/(3)`
`rArr(lfloorn)/(lfloorr-2lfloorn-r+2)*(lfloorr-1lfloorn-r+1)/(lfloorn)=(1)/(3)`
`rArr((r-1)lfloorr-2*lfloorn-r+1)/(lfloorr-2(n-r+2)lfloorn-r+1)=(1)/(3)`
`rArr(r-1)/(n-r+2)=(1)/(3)`
`rArr(r-1)/(n-r+2)=(1)/(3)`
`rArrn-r+2=3r-3`
`rArrn=4r-5` . . . (1)
और `(.^(n)C_(r-1))/(.^(n)C_(r))=(3)/(5)`
`rArr(lfloorn)/(lfloorr-1lfloorn-r+1)*(lfloorrlfloorn-r)/(lfloorn)=(3)/(5)`
`rArr(r)/(n-r+1)=(3)/(5)`
`rArr3n-3r+3=5r`
`rArr3(4r-5)-3r+3=5r`[समीकरण (1) से]
`rArr4r=12`
`rArr r=3`
r=3 समीकरण (1) में रखने पर
`n=4xx3-5=7`
`thereforen=7` तथा r=3