निम्नलिखित फलनों की एकैकी ( Injective ) तथा आच्छादी ( Surjective ) गुणों की जाँच कीजिए :
(i) `f(x)=x^(2)` द्वारा प्रदत्त `f:N rarr N` फलन है ।
(ii) `f(x)=x^(2)` द्वारा प्रदत्त `f:Z rarr Z` फलन है ।
(iii) ` f(x)=x^(2)` द्वारा प्रदत्त `f:R rarr R` फलन है ।
(iv) `f(x)=x^(3)` द्वारा प्रदत्त `f : N rarr N` फलन है ।
(v) `f(x)=x^(3)` द्वारा प्रदत्त `f:Z rarr Z` फलन है ।

Explanation

(i) `f:N rarr N` तथा `f(x)=x^(2)`
माना `x,y in N` तथा `f(x)=f(y)`
`rArr x^(2)=y^(2)`
`rArr x=y(.:'x,yin N)`
`:.f` एकैकी है ।
माना `f(x)=y` जहाँ `y in N`
`rArr x^(2)=y`
`rArr x=pmsqrt(y) cancelin N` यदि `y=2`
`:.f`आच्छादक नहीं है ।
अतः f एकैकी फलन है परन्तु आच्छादक नहीं है ।
(ii) `f:Z rarr Z ` तथा `f(x)=x^(2)`
माना `x,yin Z ` तथा `f(x) = f(y)`
`rArr x^(2)=y^(2) rArr x=pm y`
`:.f` एकैकी नहीं है ।
पुनः माना `f(x)=y` जहाँ `y in Z`
`rArr x^(2)=y`
`rArr x=pmsqrt(y) cancelin Z` यदि `y=2`
`:.f` आच्छादक नहीं है ।
अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है ।
(iii)`f:R rarr R` तथा `f(x)=x^(2)`
माना `x,y in R ` तथा `f(x)=f(y)`
`rArr x^(2)=y^(2) rArr x=pm y`
`:.f` एकैकी नहीं है ।
पुनः माना `f(x)=y` जहाँ `y in R`
`rArr x^(2)=y`
`rArr x= pm sqrt(y) cancelin R` यदि `y = - 2`
`:.f`आच्छादक नहीं है ।
अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है ।
(iv) `f:N rarr N` तथा `f(x)=x^(3)`
माना `x,y in N`तथा `f(x)=f(y)`
`rArr x^(3)=y^(3) rArr x=y`
`:.f` एकैकी है
माना `f(x)=y` जहाँ `y in N`
`rArr x^(3)=y`
`rArr x = y^(1//3) cancelin N` यदि `y=2`
`:.f` आच्छादक नहीं है ।
अतः f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है ।
(v) `f:Z rarr Z` तथा `f(x)=x^(3)`
माना `x,y in Z` तथा `f(x)=f(y)`
`rArr x^(3)=y^(3) rArr x=y`
`:. f` एकैकी है ।
पुनः माना `f(x)=y` जहाँ `y in Z`
`rArr x^(3)=y`
`rArr x^(3)=y`
`rArr x=y^(1//3) cancel in Z` यदि `y=2`
`:.f` आच्छादक नहीं है ।
अतः f एकैकी है और परन्तु आच्छादक नहीं है ।