निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी , आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं । अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए ।
(i) `f(x)=3-4x` द्वारा परिभाषित फलन `f:R rarr R` है ।
(ii) `f(x)=1+x^(2)`द्वारा परिभाषित फलन `f:R rarr R` है ।

Explanation

`(i)f:R rarr R` तथा `f(x)=3-4x`
माना `x,y in R` तथा `f(x)=f(y)`
`rArr 3-4x=3-4y`
`rArr -4x=-4yrArr x=y`
`:.f` एकैकी है ।
पुनः माना `f(x)=y` जहाँ `y in R`
`rArr 3-4x=y`
`rArr -4x=y-3`
`rArr x=(y-3)/(-4) in R AA y in R`
`:.f` आच्छादक है ।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है ।
(ii) `f:R rarr R` तथा `f(x)=(1+x^(2))`
माना `x,y in R` तथा `f(x)=f(y)`
`rArr 1+x^(2)=1+y^(2) rArr x^(2)=y^(2)`
`rArr x=pm y`
`:f` एकैकी नहीं है ।
पुनः माना `f(x)=y` जहाँ `y in R`
`rArr (1+x^(2))=y`
`rArr x^(2)=y-1`
`rArr x=pmsqrt(y-1) cancelin R` यदि `y=-2`
`:.f` आच्छादक नहीं है ।
अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है ।