`(x+3)/(x^(2)-2x-5)`

Explanation

माना `I=int(x+3)/(x^(3)-2x-5)dx`
माना `" "x+3=A(d)/(dx)(x^(2)-2x-5)+B`
`rArr" "x+3=A(2x-2)+B`
x के गुणकों की तुलना करने पर,
`1=2A" "rArr" "A=(1)/(2)`
अचर पदों की तुलना करने पर,,
`" "3=-2A+B`
`rArr 3=-1+B" "rArr" "B=4`
`therefore" "I=int((1)/(2)(2x-2)+4)/(x^(2)-2x-5)dx`
`=(1)/(2)int(2x-2)/(x^(2)-2x-5)dx+4int(1)/(x^(2)-2x-5)dx" "` प्रथम समाकलन के लिये ,
`" "`माना `x^(2)-2x-5=t`
`" "rArr" "(2x-2)dx=dt`
`=(1)/(2)int(1)/(t)dt+4int(1)/((x-1)^(2)-(sqrt6)^(2))dx`
`=(1)/(2)logt+4.(1)/(2sqrt6)log|(x-1-sqrt6)/(x-1+sqrt6)|+c`
`=(1)/(2)log(x^(2)-2x-5)+(2)/(sqrt6)log|(x-1-sqrt6)/(x-1+sqrt6)|+c`