लम्बाई L=1.8 मी तथा द्रव्यमान M किग्रा की एक समांग छड़ AB अपने केंद्र O पर इस प्रकार कीलकित है कि यह ऊर्ध्वाधर तल में चित्रानुसार स्वतंत्र रूप से घूम सकती है। आरंभ में छड़ क्षैतिज अवस्था में है। उसी द्रव्यमान M का एक कीड़ा S, बिंदुओं O व B के बीच C पर वेग v से ऊर्ध्वाधर गिरता है। गिरने के तुरंत बाद कीड़ा सिरे B की ओर इस प्रकार रेंगता है कि छड़ नियत कोणीय वेग `omega` से घूमती है।

a. कोणीय वेग `omega` का मान v तथा L के पदों में ज्ञात कीजिए।
b. यदि कीड़े के B पर पहुंचने पर छड़ `90^(@)C` घूम जाती है तो v का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

`a. (12v)/(7L)` (b) `3.5` मी/से

Explanation

इस प्रश्न में कोणीय संवेग के लिए K अक्षर का प्रयोग किया जाएगा
क्योंकि L का प्रयोग छड़ की लम्बाई के लिए हुआ है।
a. निकाय (छड़+कीड़ा) का छड़ के केंद्र O के परितः कोणीय संवेग संघट्ट से ठीक पूर्व तथा ठीक बार संरक्षित रहेगा अर्थात `K_(i)=K_(f)`
या `MvL/4=I omega=[(ML^(2))/12+M(L/4)^(2)] omega`

या `MvL/4=7/48ML^(2)omega`
अर्थात `omega=12/7 v/L`……….i
(b) O से परितः कीड़े के भार के आघूर्ण के कारण, निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित नहीं रहेगा (यद्यपि कोणीय वेग `omega` नियत है जैसे जैसे कीड़ा B की ओर जाता है निकाय का जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है अतः निकाय का कोणीय संवेग भी बढ़ेगा)।
मान समय `t_(1)` पर O से कीड़े की दूरी x है तथा छड़ कोण `theta` घुमायी जाती है। तब उस क्षण कोणीय संवेग
`K=[(ML^(2))/2+Mx^(2)]omega`
अतः `(dK)/(dt)=2Momegax (dx)/(dt)` [`omega=` नियतांक]
`impliestau=2M omegax (dx)/(dt)`
`impliesMgx cos theta =2 M omega x (dx)/(dt)`
`impliesdx=(g/(2omega))cos omega dt`……….ii `(theta=omegat)`
समय `t=0` पर `X=L/4` तथा समय `t=T//4` या `(pi)/2omega)` पर `x=L//2`
ये सीमाएं प्रतिस्थापित करने पर
`int_(L//4)^(L//2)dx=g/(2 omega0int_(0)^(2pi//2omega)cos omega t dt `
`[x]_(L//4)^(L//2)=g/(2 omega^(2))[sin omega t]_(0)^(pi//2omega)`
`implies(L/2-L/4)=g/(2omega^(2))["sin"(pi)/2-sin 0]`
या `L/4=g/(2omega^(2))` या `omega=(sqrt(2g)/L)`
समी (i) में यह मान प्रतिस्थापित करने पर
`sqrt((2g)/L)=12/7 . v/L`
या `v=7/12sqrt(2gL)`
`=7/12sqrt(2xx10xx1.8)=3.5` मी/से