एक आयताकार दृढ़ स्थिर गुटके के लम्बे क्षेतिज को पर, R त्रिज्या का एक ठोस समाग बेलन क्षैतिज स्थिति में रखा है। बेलन की लम्बाई कोर के समांतर है तथा इसकी अक्ष व गुटके की कोर एक ही ऊर्ध्व तल में स्थित है जैसा कि चित्र में दशा्रया गया है। बेलन की कोर पर पर्याप्त घर्षण है जिससे कि बेलन को थोड़ा सा ही विस्थापित करने पर वह बिना फिसले कोर से लुढ़क जाता है। ज्ञात कीजिए।

a.बेलन द्वारा कोर को छोड़ देने से पहले घूमा कोण `theta_(C)`
(b) कोर को छोड़ने से पहले बेलन के द्रव्यमान केंद्र की चाल तथा
(c) जब बेलन का द्रव्यमान केंद्र कोर से जानेवाली क्षैतिज रेखा में हो तब बेलन के स्थानान्तरण व घूर्णन गतिज ऊर्जाओं में अनुपात।

Answer

`6hati`

Explanation

a.बेलन स्पर्श बिंदु के परितः घूमता है। अतः बेलन की यान्‍त्रिक ऊर्जा संरक्षित रहेगी अर्थात

`("स्थितिज ऊर्जा+गतिज ऊर्जा")_(1)=("स्थितिज ऊर्जा+गतिज ऊर्जा")_(2)`
`:.mgR+0=mgRcos theta+1/2 Iomega^(2)+1/2 mv^(2)`
परंतु `omega=v//R` (स्पर्श बिंदु फिसलन नहीं है)
तथा `I=1/2 mR^(2)`
अतः `mgR=mgRcos theta+1/2(1/2mR^(2))((v^(2))/(R^(2)))+1/2mv^(2)`
या `3/4v^(2)=gR(1-cos theta)`
या `(v^(2))/R\4/3g(1-cos theta)`……….i

सम्पर्क टूटते समय अभिलम्ब प्रतिक्रिया N=0 तथा `theta=theta_(C)`
अतः `mg cos theta=(mv^(2))/R`
या `(v^(2))/R=gcos theta`………ii
समी (i) व (ii) से `4/3g(1-cos theta_(C))=gcos theta_(C)`
या `7/4cos theta_(C)=1` या `cos theta_(C)=4//7`
`impliestheta_(C)=cos^(-1)(4/7)`
(b)`v=sqrt(4/3gR(1-cos theta))`
सम्पर्क टूटते समय
`cos theta=cos theta_(C)=4//7`
`:.v=sqrt(4/3gR(1-4/7))` या `v=sqrt(4/7gR)`
अतः सम्पर्क टूटने से ठीक पहले बेलन के द्रव्यमान केंद्र की चाल `sqrt(4/7gR)` होगी।
(c) बेलन के सम्पर्क टूटने के समय `v=sqrt(4/7gR)`
घूर्णन गतिज ऊर्जा
`K_(R)=1/2 Iomega^(2)=1/2(1/2mR^(2))(v^(2))/(R^(2))=1/4mv^(2)`
`=1/4m(4/7gR)=(mgR)/7`…….iii
एक बार सम्पर्क टूटने के बाद `N=0` अर्थात घर्षण बल जो कि इसके घूर्णन के लिए उत्तरदायी है वह समाप्त हो जाएगा। अतः उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा नियत हो जाएगी, जबकि स्थानान्तरीय गतिज ऊर्जा बढ़ जाएगी।
a तथा c पर ऊर्जा संरक्षण के अनुप्रयोग से
गुरूत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी = घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि + स्थानान्तरीय गतिज ऊर्जा
`:.` स्थानान्तरीय गतिज ऊर्जा `(K_(T))`
`=` गुरूत्वीय स्िीलतिज ऊर्जा में कमी `-(K_(R))`
या `K_(T)=mgR-(mgR)/7=6/7mgR`
`:.(K_(T))/(K_(R))=(6/7mgR)/(mgR)/7)` या `(K_(T))/(K_(R))=6`