एक एकसमान डिस्क जिसका द्रव्यमान m तथा त्रिज्या R है `v_(0)` वेग से एक रूक्ष क्षैतिज फर्श पर क्षैतिज दिशा में प्रक्षेपित की जाती है समय t=0 पर यह फिसलना प्रारंभ करती है `t_(0)` सेकण्ड तक केवल फिसलती है जबकि `t_(0)` सेकण्ड पश्चात यह‌ चित्रानुसार लुढ़कना प्रारंभ कर देती है।

a. समय `t_(0)` पर डिस्क के द्रव्यमान केंद्र वेग की गणना कीजिए।
b. यदि घर्षण गुणांक का मान `mu` हो तो `t_(0)` का मान क्या होगा? घर्षण बल (समय के पदों में) द्वारा किया गया कार्य तथा समय t (जोकि `t_(0)` की अपेक्षा अधिक है) के लिए कुल कार्य की भी गण्ना कीजिए।

Answer

a. `2/3v_(0)` (b) `(v_(0))/(3mug);tlet_(0)` के लिए `w_(f)=(m mu "gt)/2[3mu "gt"-2v_(0)],(-mv_(0)^(2))/6`

Explanation

समय t=0 से `t=t_(0)` तक आगे की ओर फिसलने की स्थिति में f बायीं ओर कार्यरत होगा तथा उसका मान अधिकतम `mu mg` होगा। `t gt t_(0)` के लिए घर्षण f का मान शून्य होगा क्योंकि अब डिस्क बिना फिसले लुढ़क रही है तथा सम्पर्क बिंदुओं के बीच आपेक्षिक गति नहीं है।

समय `t "gt" t_(0)` के लिए
रेखीय मंदन `a=r/m=mug`
तथा कोणीय त्वरण `alpha=(tau)/I=(fR)/(1/2mR^(2))=(2mug)/R`
माना `t=t_(0)` पर डिस्क का रेखीय वेग v तथा कोणीय वेग `omega` है तब
`v=v_(0)-at_(0)=v_(0)-mug t_(0)`………….i
तथा `omega=alpha t_(0)=(2 mu "gt"_(0))/R`………ii
शुद्ध लुढ़कने की स्थिति में
`v=R omega`
अर्थात `v_(0)-mu g t_(0)=2mu g t_(0)impliest_(0)=(v_(0))/(3mug)`
`:.v=v_(0)-mu((v_(0))/(3mug))` या `v=2/3v_(0)`
घर्षण द्वारा किया गया कार्य
`tlet_(0)` के लिए किसी भी समय t पर डिस्क का रेखीय वेग `v=v_(0)-mu "gt"` तथा कोणीय वेग`omega=alpha t=(2mu"gt")/R`
कार्य ऊर्जा प्रमेय से t समय में घर्षण द्वारा किया गया कार्य
= समय t पर डिस्क की गतिज ऊर्जा – समय (t=0) पर डिस्क की गतिज
`:.W=1/2mv^(2)+1/2Iomega^(2)-1/2 mv_(0)^(2)`
`=1/2m[v_(0)-mu"gt"]^(2)+1/2(1/2mR^(2))((2mu"gt")/R)^(2)-1/2mv_(0)^(2)`
`=1/2 [mv_(0)^(2)+ mu^(2)g^(2)t^(2)-2mv_(0)mu "gt"+2m mu^(2)g^(2)t^(2)-m v_(0)^(2)]`
या `W=(m mu "gt")/2[2mu "gt"-2v_(0)]`
`tgt t_(0)` के लिए घर्षण बल शून्य है अतः कृत कार्य भी शून्य होगा अर्थात ऊर्जा संरक्षित रहेगी।
इस प्रकार घर्षण द्वारा कृत कुल कार्य
`W=(m mu "gt"_(0))/2(2mu "gt"_(0)-2v_(0))` (क्योंकि `t gt t_(0)` के लिए कृत कार्य शून्य है)
`t_(0)=(v_(0))/(3mug)` प्रतिस्थापित करने पर
`W=(mv_(0))/6[v_(0)-2v_(0)]=-(mv_(0)^(2))/6`