द्रव्यमान M तथा लम्बाई L की एक छड़ AB एक घर्षणहीन तल पर पड़ है। द्रव्यमान m का एक कण तल के अनुदिश चलते हुए छड़ के A सिरे से AB के लम्बवत दिशा में वेग `v_(0)` से टकराता है। टक्कर पूर्णतया प्रत्यास्थ है। टक्कर के पश्चात कण विरामावस्था में आ जाता है।
a. `m//M` का मान ज्ञात कीजिए।
b.टक्कर के ठीक बाद छड़ पर एक बिंदु P विरामावस्था में है दूरी AP ज्ञात कीजिए।
c.टक्कर के पश्चात समय `piL//3v_(0)` पर बिंदु P की रेखीय चाल ज्ञात की‌जिए।

Answer

a. `1/4` (b) `2/3L` (c) `(v_(0))/(2sqrt(2))`

Explanation

(a)माना संघट्ट के तुरंत बाद छड़ के द्रवयमान केंद्र का वेग `v` तथा द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय वेग `omega` है।

निम्न तीन नियमों का अनु्प्रयोग करने पर
(i) क्षैतिज तल में निकाय (छड़+द्रव्यमान) पर x- अक्ष के अनुदिश बाह्य बल शून्य है।
`:.` रेखीय संवेग संरक्षण के नियम से
`mv_(0)=mv`……………..(i)
(ii) छड़ के द्रव्यमान केंद्र (CM) के परितः निकाय पर नेट बल आघूर्ण शून्य है।
`:.` छड़ पर CM के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से
`mv_(0)(L/2)=I omega`
या `mv_(0)=(MLomega)/6 ( :'I=(ML^(2))/12)`…….ii
(iii) प्रत्यास्थ संघट्ट के कारण गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहेगी।
`:.1/2mv_(0)^(2)=1/2Mv^(2)+1/2Iomega^(2)`
या `mv_(0)^(2)=Mv^(2)+(ML^(2))/12 omega^(2)` ……….iii
समी. (i),(ii) व (iii) को हल करने पर
`m/M=1/4`
`v=(mv_(0))/M`
तथा `omega=(6mv_(0))/(ML)`
(b) यदि `xomega=v` तो बिंदु P विरामावस्था में होगा।
या `x=v/(omega)=(mv_(0)//M)/(6mv_(0)//ML)`
या `x=L//6`
`:.AP=L/2+L/6` या `AP=2/3L`
(c)`t=(piL)/(3v_(0))` के पश्चात छड़ द्वारा घूमा गया कोण

`theta=omegat=(6mv_(0))/(ML) . (piL)/(3v_(0))=2pi(m/M)=2pi(1/4)`
या `theta=(pi)/2`
छड़ की नयी स्थिति चित्रानुसार होगी।
`:.` बिंदु P पर परिणामी वेग
`|v_(P)|=sqrt(2)v=sqrt(2)(m/M)v_(0)=(sqrt(2))/4 v_(0)`
या `|v_(P)|=(v_(0))/(2sqrt(2))`