यदि सभी स्वतंत्र राशियों की मापन त्रुटियाँ ज्ञात हो, तो किसी निर्भर राशि की त्रुटि का परिकलन किया जा सकता है। इस परिकलन में श्रेणी प्रसार का प्रयोग किया जाता है और इस प्रसार में त्रुटि के पहले घात पर रुण्डित किया जाता है। उदाहरणस्वरूप , सम्बन्ध `z=(x)/(y)` में यदि `x`, `y` और `z` की त्रुटियाँ क्रमश : `Deltax`, `Deltay` और `Deltaz` हो, तो `z+-Deltaz=(x+-Deltax)/(y+-Deltay)=(x)/(y)(1+-(Deltax)/(y))(1+-(Deltay)/(y))^(-1)`
`(1+(Deltay)/(y))^(-1)` का श्रेणी प्रसार , `(Deltay)/(y)` में पहले घात तक, `1+-((Deltay)/(y))` है। स्वतंत्र राशियों की आपेक्षिक त्रुटियाँ सदैव जोड़ी जाती है। इसलिए `z` की त्रुटि होगी।
`Deltax=x((Deltax)/(x)+(Deltay)/(y))`
उपरोक्त परिकलन में `(Deltax)/(x) lt lt 1`, `(Deltay)/(y) lt lt 1` माने गए है। इसलिए इन राशियों की उच्चतर घाते उपेक्षित है।
एक विमा रहित राशि `a` को मापकर , एक अनुपात `r=((1-a))/((1+a))` का परिकलन करना है। यदि `a` की मापन की त्रुटि `Deltaa` है `((Deltaa)/(a) lt lt 1)` , तो `r` के परिकलन की त्रुटि `Deltar` क्या होगी ?

Options

A. `(Deltaa)/((1+a)^(2))`
B. `(2Deltaa)/((1+a)^(2))`
C. `(2Deltaa)/((1-a^(2)))`
D. `(2aDeltaa)/((1-a^(2)))`

Answer

B

Explanation

`r=(1-a)/(1+a)`
`lnr=ln(1-a)-ln(1+a)`
अवकलन करने पर
`(dr)/(r )=-(da)/(1-a)-(da)/(1+a)`
हम लिख सकते है ,
`(Deltar)/(r )=-[(Deltaa)/(1-a)+(Deltaa)/(1+a)]`
`(Deltar)/(r )=(-2Deltaa)/(1-a^(2))`
या `Deltar=-((2Deltaa)/(1-a^(2)))(r )=(-2Deltaa)/((1+a^(2)))`