सिद्ध कीजिए कि `f:[-1,1] rarr R, f(x)=(x)/((x+2))`, द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है । फलन `f:[-1,1] rarr ` (f का परिसर ), का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए । ( संकेत `y in ` परिसर f के लिए,[-1,1] के किसी x के अंतर्गत `y=f(x)=(x)/(x+2)`,अर्थात `x=(2y)/((1-y))` )

Explanation

`f:[-1,1] rarr R` में `f(x)=(x)/(x+2)`
माना `x,y in [-1,1]`
तथा `f(x)=f(y)`
`rArr (x)/(x+2)=(y)/(y+2) rArr xy+2x=xy+2y`
`rArr 2x=2y rArr x=y`
`:.f` एकैकी है ।
माना `f(x)=y` जहाँ `y in R`
`rArr (x)/(x+2)=y rArr x=xy+2y`
`rArr x(1-y)=2y rArr x=(2y)/(1-y)`
`:.f` का परिसर `=R-{1}`
माना `g:f` का परिसर `rarr [-1,1]` में `g(y)=(2y)/(1-y),y != 1` द्वारा परिभाषित है ।
अब `(gof)(x)=g[f(x)]=g((x)/(x+2))`
`=(2((x)/(x+2)))/(1-((x)/(x+2)))=(2x)/(x+2-x)=(2x)/(2)=x`
तथा `(fog)(x)=f[g(x)]=f((2x)/(1-x))`
`=((2x)/(1-x))/((2x)/(1-x)+2)=(2x)/(2x+2-2x)=(2x)/(2)=x`
`:.gof=fog=I_(R)`
`rArrf^(-1)=g`
`rArr f^(-1)(y)=(2y)/(1-y),y!=1`